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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

%Pour compiler les figure en pdflatex

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     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.3cm}
\devoir{1èreS}{12}{23 mai 2012}{2h}
\vspace{0.5cm}


\textbf{\underline{ROC  ``restitution organisée de connaissances''}  : 2 points}\par
\medskip
$q$ est un réel non nul et différent de 1.\par
\vspace{0.2cm}
Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n= 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots + q^n$.\par
Montrer que pour tout entier naturel $n$ : \hspace{0.5cm} $S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\par
\vspace{0.5cm}


\begin{exercice}[(4 points)]
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n^2+u_n+3$ pour tout $n \in \N$.
\item $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q > 0$ telle que $u_1=12$ et $u_5=3072$ : calculer $q$ puis $u_7$.
\item Calculer $2 + 5 + 8 + \cdots + 299 + 302$.
\item En utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme,\par
      calculer $1+2+4+8+ \cdots +32768$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5,5 points]
Le 1er janvier 2012, on a placé 5000 euros à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$.\par
(cela signifie que les intérêts ajoutés au capital à chaque nouvelle année représentent $4 \%$ du capital\par
de l'année précédente)\par
Chaque 1er janvier, on place 200 euros supplémentaires sur ce compte.\par
On note $C_0=5000$ le capital disponible au 1er janvier de l'année 2012,\par
et $C_n$ le capital disponible au 1er janvier de l'année $2012+n$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer les valeurs exactes de $C_1$ et $C_2$.
 \item Justifier que pour tout entier $n$, on a $C_{n+1}=1,04C_n+200$.
 \item Justifier que la suite $(C_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
 \item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=C_n+5000$.
	\begin{enumerate}
	 \item Calculer $v_0$ ; montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
	 \item En déduire l'expression de $v_n$ puis de $C_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\textit{Pour les questions suivantes, toute démarche sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\item Calculer le capital disponible à la fin de l'année 2020, arrondi à l'euro près.
\item Quel nombre minimal d'années devra-t-on attendre pour que le capital disponible dépasse 10 000 euros ?
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5,5 points]
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies pour tout entier naturel $n$, par :
\[u_{n}=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5) \hspace{1cm} et \hspace{1cm} v_{n}=\dfrac{1}{4}(2^{n}-4n+5) \]
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_0$, $u_1$, $v_0$ et $v_1$.
 \item Montrer que la suite $(a_{n})$ de terme général $a_{n}=u_{n}+v_{n}$ est géométrique de raison 2 ;\par
      calculer sa somme $S_{a}(n)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$.
 \item Montrer que la suite $(b_{n})$ de terme général $b_{n}=u_{n}-v_{n}$ est arithmétique de raison 2 ;\par
      calculer sa somme $S_{b}(n)=b_{0}+b_{1}+...+b_{n}$.
 \item En déduire les sommes $S_{u}(n)=u_{0}+u_{1}+...+u_{n}$ et $S_{v}(n)=v_{0}+v_{1}+...+v_{n}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Les suites $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ sont définies pour tout entier naturel $n$, par :
\[u_{n}=1-3n \hspace{0.2cm}; \hspace{1cm} v_0=\dfrac{4}{9} \hspace{0.2cm} et \hspace{0.2cm} v_{n+1}=\dfrac{3v_n}{2} \hspace{0.2cm}; \hspace{1cm} w_n=\dfrac{n^2}{2^n} \]
\begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau suivant :\par
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      $n$ & \hspace{0.1cm}0\hspace{0.1cm} & \hspace{0.1cm}1\hspace{0.1cm} & \hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm} & \hspace{0.1cm}3\hspace{0.1cm} & \hspace{0.1cm}4 \hspace{0.1cm}\\
      \hline
      $u_n$ &  &  &  &  & \\
      \hline
      $v_n$ &  &  &  &  & \\
      \hline
      $w_n$ &  &  &  &  & \\
      \hline
      \end{tabular}
      \end{center}


 \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
 \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
 \item On veut démontrer que la suite $(w_n)$ est décroissante à partir du rang 3.
	\begin{enumerate}
	 \item Etudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $[0;\pI[$.
	 \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n=\dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}$
	 \item En déduire que si $n \geq 3$ alors $w_{n+1} \geq w_n$ et conclure.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}









\end{document}