\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Probabilités - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{16 décembre 2021 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(5 pts)} Ce QCM comprend 5 questions.\\
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.\\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.\\


\textbf{Question 1 :} Un élève répond au hasard aux cinq questions de ce QCM.\\
La probabilité qu'il ait cinq bonnes réponses est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{1}{256}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{1024}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{40}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&\textbf{d.~~}$ \dfrac{1}{2048}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\medskip
\textbf{Question 2 :} On tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant 10 boules blanches et 20
boules noires. La probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{2}{9}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{4}{9}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{20}{87}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&\textbf{d.~~}$\dfrac{40}{87}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 3 :} Les jours d’évaluation, Hector a une panne de réveil une fois sur sept et mal au ventre une fois sur neuf.
Ces deux évènements sont indépendants et font que Hector n’assiste pas à l’évaluation.\\
Demain Hector a une évaluation. La probabilité qu’il y assiste est de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$\dfrac{16}{21}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{62}{63}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{6}{7}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{15}{21}$\rule[-3pt]{0mm}{7mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 4 :} Pour une certaine expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B indépendants tels que :
\begin{center} $P(A)=0,3$ et $P(B)=0,4$ \end{center}
                                        
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$P(A \cap B)=0,1$&\textbf{b.~~}$P(A \cap B)=0,3$&\textbf{c.~~}$P(A \cup B)=0,58$&\textbf{d.~~}$P(A \cup B)=0,7$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 5 :} Pour une certaine expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B tels que :
\begin{center} $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A \cap \overline{B})=0,2$ \end{center}

Alors :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$P(A \cap B)=0,3$&\textbf{b.~~}$P(A \cap B)=0,2$&\textbf{c.~~}$P(A \cup B)=0,9$&\textbf{d.~~}$P(A \cup B)=0,7$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\finexo

\newpage
\exo{}{(5 pts)} A, B, C, D sont des évènements d’une expérience aléatoire.\\


\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{0,1}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\taput{0,2}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,5}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,5}
	  }	
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{0,7}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,1}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,9}
	  }	
}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer :
       \begin{enumerate}
        \item $P(A \cap D)$
        \item $P(D)$
        \item $P_D(A)$ (arrondir au centième)
       \end{enumerate}
       
\item A et D sont-ils indépendants ?        
\end{enumerate}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(6 pts)} Claire joue régulièrement à un jeu de simulation de combats de judo en ligne.\\
Les adversaires qu’elle combat sont générés automatiquement de manière aléatoire selon le niveau atteint dans le jeu.\\
Elle a atteint le niveau le plus élevé. Les scores relevés par le jeu montrent qu’elle gagne dans 45\% des cas si son adversaire est ceinture noire et dans 70\% des cas si son adversaire n’est pas une ceinture noire.\\
Claire commence un tournoi et un premier adversaire est généré par le jeu. A ce niveau, la probabilité d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est de 0,6.\\
On note :\\
N l’évènement : «L'adversaire est ceinture noire.»\\
G l’évènement : «Claire gagne le combat.»

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré \\ci-contre, modélisant la situation.
\end{minipage}
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$}}
	  { 
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	   
	  }
	
	  \pstree{\TR{$\overline{N}$}}
	  {
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$} 
	  }
}
\end{center}
\end{minipage}

 \item Calculer la probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que claire gagne son combat.\\
 \item Montrer que la probabilité que claire gagne son combat est 0,55.\\
 \item Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire ? (arrondir au centième)
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4 pts)} Un laboratoire a mis au point un test de dépistage d’une maladie.\\
3\% de la population est atteinte de cette maladie.\\
Si une personne est malade, le test est positif dans 98\% des cas.\\

On choisit une personne au hasard dans la population.\\
On note :\\
M l’évènement : «La personne est malade.»\\
T l’évènement : «La personne a un test positif.»\\
On note $p$ la probabilité qu’une personne qui n’a pas la maladie ait un test positif.\\

\begin{enumerate}
 \item Construire un arbre pondéré de la situation.
 \item Exprimer $P(T)$ en fonction de $p$.
 \item Déterminer $p$, pour que la probabilité qu’une personne soit malade, sachant qu’elle a été testée positive, soit de 0,99. (arrondir au dix-millième)
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}