\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nª8  - Suites - Variables Aléatoires - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{17 fev 2022 - 1h}  \end{center}


\exo{}{(7 pts)} Pour faire connaître l'ouverture d'un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d'achat. Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin :
\smallskip
\begin{itemize}
\item 90\% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire ; parmi elles, 10\% achètent un salon.
\item Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80\% achètent un salon.
\end{itemize}
\medskip
Une personne entre dans le magasin. On note :
\begin{itemize}
\item B l'évènement "la personne a un bon publicitaire",
\item $\overline{B}$ l'évènement "la personne n'a pas de bon publicitaire",
\item S l'évènement "la personne achète un salon",
\item $\overline{S}$ l'évènement "la personne n'achète pas de salon".
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités en y portant les informations données par l'énoncé.
\item Décrire l'évènement $B \cap S$, puis déterminer sa probabilité.
\item Déterminer la probabilité que la personne achète un salon.
\item La personne a acheté un salon. Quelle est la probabilité qu'elle soit venue avec un bon ?\\ (arrondir au centième)
\item Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15 \euro \hspace{0.2cm} au magasin.\\
    Un salon vendu rapporte 500 \euro \hspace{0.2cm} au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire.
\vspace{0.5cm}
  
Compléter le tableau ci dessous qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant.
\medskip 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
Situation & & & & \\
de la personne & Elle a un bon et & Elle a un bon et &  Elle n'a pas de bon &  Elle n'a pas de bon et \\
entrant : & achète un salon &  n'achète pas de salon  &  et achète un salon &   n'achète pas de salon \\
& & & & \\ \hline
Bénéfice & & & & \\
réalisé par le & 485 &  &  &  \\
magasin en \euro & & & & \\ \hline
& & & & \\
Probabilité &  &  &  &  \\
& & & & \\\hline
\end{tabular}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant.
\item Le directeur pense changer la valeur du bon. Soit $x$ le prix de revient en euros du nouveau bon. Exprimer en fonction de $x$ l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin.
\item Le directeur souhaite réaliser 76 \euro \hspace{0.2cm} de bénéfice moyen par personne entrant.\\
    Quel doit être le prix de revient $x$ du nouveau bon publicitaire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(3 pts)} Une variable aléatoire $X$ est établie selon la loi de probabilité suivante :
\begin{center} 
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
$x_{i}$& -2 &-1  &0  &1  &2  &3  \\ \hline
$p(X=x_{i})$& 0,3 &0,05  &0,01  &0,05  &0,02  &  p\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
    
\begin{enumerate}
\item Calculer p.
\item Calculer $E(X)$.
\item Calculer $\sigma(X)$. (arrondir au centième)
\end{enumerate}
\finexo   
\newpage   


\exo{}{(7 pts)} Au 1\up{er} janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait \np{10560} panneaux solaires.
On observe, chaque année, que 2\,\% des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.

\bigskip
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par
\begin{center}
$u_0 = \np{10560}$ et, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = 0,98u_n +250$, 
\end{center}
où $u_n$  est le nombre de panneaux solaires au 1\up{er} janvier de l'année $2020 +n$.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
		\item  Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
		\smallskip
		\item  On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à \np{12000}.   
        À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
        \smallskip
		\item  (Bonus) Compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
u $= \np{10560}$\\
n$ =0$\\
while  \ldots \ldots :\\
\qquad u $= \ldots \ldots$ \\
\qquad n $= \ldots \ldots$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\medskip

\item On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \leqslant \np{12500}$ ; montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\medskip

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$  par $v_n = u_n - \np{12500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.
		\smallskip
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$,\, $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire $u_n$ en fonction de $n$.
		\smallskip
		\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(3 pts)}
\begin{enumerate}
\item Calculer $S=-7 - 4 -1 + 2 + 5 + \cdots + 110 + 113$.
\medskip

\item Calculer $S=1 + 2 + 4 + 8 + 16 \cdots + 1024 + 2048$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}