\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Second degré - Dérivation - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{22 novembre 2022 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(5 pts)} 

\begin{minipage}{11cm}
Soit la fonction $f$ définie sur $[-\dfrac{3}{2};3]$ par \[f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-8}{x+2}\]
Ci-contre, on a tracé  $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de $f$, ainsi que la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
\begin{enumerate}
%\item Déterminer graphiquement $f'(0)$ (justifier).
%\smallskip
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{2(x^{2}+4x+3)}{(x+2)^{2}}$.
\smallskip
\item Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
\item La fonction $f$ admet-elle un extremum sur $[-\dfrac{3}{2};3]$~ ?
\smallskip
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $2$.
\smallskip
\item Tracer $T$ dans le graphique ci-contre.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}  \includegraphics{graphe.1} \end{center}
\end{minipage}
\finexo



\exo{}{(3 pts)} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.\\
On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.\\
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses au point $A (- 2 ; 0)$ et lui est tangente au point $B$ d'abscisse 6.\\
La tangente à la courbe au point $A$ passe par le point $M \left( -3 ; 3 \right)$.\\
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $0$.\\
 
\begin{center}	
	\psset{unit=.4cm}
	\begin{pspicture}(-8,-6)(20,10) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*(x+2)*(x-6)^3/512}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(20,10) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(10,5) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](10,0) {$x$}
\uput[dl](0,5) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.124}{10}{\f}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,linestyle=dashed]{-}(2,0)(2,-1.5)(0,-1.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3,3)(-1.25,-2.25)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.75,-2.53)(0.75,-2.53)
\uput[d](-3.5,5){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[ur](-2,0){\bleu{$A$}}
\uput[u](6,0){\bleu{$B$}}
\uput[dr](0,-2.5){\bleu{$C$}}
\uput[dr](2,-1.5){\bleu{$D$}}
\uput[ul](-3,3){\prune{$M$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Que vaut $f'(0)$ ? $f'(-2)$ ?
\smallskip
\item Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $f'(x)>0$.
\smallskip
\item Déterminer laquelle des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$.
\smallskip
	
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{3*x^2*(6-x)/64}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{7}{\f}
\rput(2,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-7)(9,2) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{3*x*(x-6)^2/128}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-6)(9,2) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-6)(9,2) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\rput(3,-7){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-6)(7,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{3*x^3*(6-x)/256}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-5)(7,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(7,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.54}{7}{\f}
\rput(1.5,-6){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}

\end{enumerate}
\finexo
\newpage


\exo{}{(4 pts)} Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par
\[f(x)=x^3~~~\text{et}~~~g(x)=-3x^2+9x+1\].\\
On cherche à démontrer $f(x) >  g(x)$ pour $x\geqslant2$.\\

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=f(x)-g(x)$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer $h'(x)$ pour tout réel $x$.
\medskip
\item Etudier les variations de $h$ sur $[2;\pI[$.
\medskip
\item Calculer $h(2)$ et conclure.
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(4,5 pts)} La figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, représente un rectangle $ABCD$ de dimensions\\
$AB=8$ cm et $AD=4$ cm. $E$, $F$, $G$ et $H$ sont des points de $[DC]$, $[AD]$, $[BA]$ et $[BC]$ avec $DE=AF=BG=CH$.\\
On pose $x=DE$.\\

\begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Exprimer les aires des triangles $DEF$ et $FAG$ en fonction de $x$.
        \item En déduire que l'aire du quadrilatère $EFGH$ est $2x^2-12x+32$.
       \end{enumerate}
\medskip
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de $EFGH$ est-elle minimale ? Quelle est cette aire ?
\medskip
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire de $EFGH$ est-elle supérieure ou égale à 16 ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm} 
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.5]{rectangle.eps} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(3,5 pts)} Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur $\R \diagdown \{3\}$  et sur $\R$ par
\[f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}~~~\text{et}~~~g(x)=-x-1\].
On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de $f$, donnée ci-contre, et on note $\mathcal{D}$ la représentation graphique de $g$.\\

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{D}$ dans le repère ci-dessous.
\medskip
\item Résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$ sur $\R \diagdown \{3\}$ et contrôler graphiquement le résultat.\\


\textbf{Bonus :}
\item Déterminer $f'(x)$ sur $\R \diagdown \{3\}$.
\medskip
\item Déterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ pour lesquels la tangente parallèle à $\mathcal{D}$ ?
\end{enumerate}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.5]{courbe.eps} \end{center}
\finexo






\end{document}