\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº2 - Dérivation - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{22 nov 2023 - 55 min}  \end{center}


\exo{}{(11 pts)} Soit la fonction $f$ définie sur $]\mI;1[ \cup ]1;\pI[$ par \[f(x)=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}\]
$\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^{2}}$.
\medskip
\item Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$. (on ne demande pas les limites)
\medskip
\item La fonction $f$ admet-elle un extremum sur $]\mI;1[$ ? sur $]1;\pI[$ ?
\smallskip
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $2$.
        \smallskip
        \item Existe-t-il une tangente à $C_{f}$ de coefficient directeur égal à -1 ?
      \end{enumerate}
\medskip
\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que $f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$.
        \smallskip
        \item Soit $\Delta$, la droite d'équation $y=-x+3$. Etudier la position relative de $C_{f}$ et $\Delta$.
        \end{enumerate}
\medskip     
\item Tracer $T$ et $\Delta$ dans le graphique ci-dessous, et contrôler les résultats.
\end{enumerate}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{courbe1.eps} \end{center}
\finexo


\newpage
\exo{}{(7 pts)} 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(\dfrac{1}{2}x-1)^3$
      \begin{enumerate}
      \item Calculer $f'(x)$.
      \smallskip
      \item Déterminer le signe de $h'(x)$ ; en déduire le sens de variation de la fonction $f$.
      \end{enumerate}
\medskip  

\item La fonction $h$ est définie sur $\R \backslash \{0\}$ par $h(x)=\dfrac{3}{x^5}$
      \begin{enumerate}
      \item Calculer $h'(x)$.
      \smallskip
      \item Déterminer le signe de $h'(x)$ ; en déduire le tableau de variation de la fonction $h$.\\
	    (les limites ne sont pas demandées).
      \end{enumerate}
\medskip      
\item La fonction $g$ est définie sur $]0;\pI[$ par $g(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}$ 
      \begin{enumerate}
      \item Calculer $g'(x)$ sur $]0;\pI[$.
      \smallskip
      \item Déterminer le signe de $g'(x)$, et en déduire le tableau de variation de la fonction $g$\\
	    (les limites ne sont pas demandées).
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(4 pts)}\\

\begin{minipage}{10cm}
Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un carré de côté 4, $M$ est un point mobile du segment $[AB]$.\\
$AMEF$ est un carré, et $H$ est un point de $[CD]$\\ tel que le triangle $MBH$ est isocèle en $H$.\\
\begin{enumerate}
 \item On pose $x=AM$, avec $0 \leq x \leq 4$.\\
 Démontrer que l'aire du domaine coloré est donnée par $f(x)=x^2-2x+8$.
 \medskip
 \item Etudier les variations de $f$ sur $[0;4]$.
 \medskip
 \item Myriam est persuadée que l'aire du domaine coloré occupe toujours au moins 40 \%  de l'aire du carré $ABCD$. A-t-elle raison ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.7]{optimisation.eps} \end{center}
\end{minipage}
\finexo



\end{document}