\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}+
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Dev nº5 - Suites - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center} \large{3 mars 2026 - 1h30 min}  \end{center}



\exo{}{(9 pts)} Le 1er janvier 2012, on a placé 5000 \euro~ à intérêts composés au taux annuel de $4 \%$. (cela signifie que les intérêts ajoutés au capital à chaque nouvelle année représentent $4 \%$ du capital de l'année précédente)\par
Chaque 1er janvier, on place 200 \euro~ supplémentaires sur ce compte.\par
On note $C_0=5000$ le capital disponible au 1er janvier de l'année 2012,\par 
et $C_n$ le capital disponible au 1er janvier de l'année $2012+n$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer les valeurs exactes de $C_1$ et $C_2$.
 \smallskip
 \item Justifier que pour tout entier $n$, on a $C_{n+1}=1,04C_n+200$.
  \smallskip
 \item Justifier que la suite $(C_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  \smallskip
 \item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=C_n+5000$.
	\begin{enumerate}
	 \item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
	 \smallskip
	 \item En déduire l'expression de $v_n$ puis de $C_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\smallskip
\item Calculer le capital disponible à la fin de l'année 2020, arrondi à l'euro près.\par
\smallskip
\item Déterminer le sens de variation de la suite $(C_n)$.\par
\smallskip
\begin{minipage}{12cm}
\item On souhaite déterminer à partir de quelle année, le capital\par disponible dépassera les 10 000 euros.\par
\smallskip
Compléter le programme ci-contre afin qu'il réponde à la question.\par
Recopier les lignes à compléter.\par
\medskip
Répondre à la question à l'aide de la calculatrice. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\quad \texttt{n~=~0}\\
2&\quad \texttt{C~=~5000}\\
3&\quad \texttt{while \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots} :\\
4&\quad \quad \texttt{C~=~ \ldots\ldots\ldots\ldots}\\
5&\quad \quad \texttt{n~=~ \ldots\ldots\ldots\ldots}\\
6&\quad \texttt{return \ldots}\\ \hline
\end{tabular}\end{center}
\end{minipage}

\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(1,5 pts)} A l'aide de la caluclatrice, donner la limite des suites suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=-n^2+3n+5$ ($n \in \N$)
\item $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ($n \in \N^*$)
\item $w_n=3^n-5^n$ ($n \in \N$)
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{(7 pts)} Les suites $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ sont définies pour tout entier naturel $n$, par :
\[u_{n}=1-3n \hspace{0.2cm}; \hspace{1cm} v_0=\dfrac{4}{9} \hspace{0.2cm} \text{et} \hspace{0.2cm} v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n \hspace{0.2cm}; \hspace{1cm} w_n=\dfrac{n^2}{2^n} \]
\begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau suivant :
      \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      $n$ & ~~~0~~~ & ~~~1~~~ & ~~~2~~~ & ~~~3~~~ & ~~~4~~~\\ \hline
      $u_n$ &  &  &  &  & \\ \hline
      $v_n$ &  &  &  &  & \\ \hline
      $w_n$ &  &  &  &  & \\ \hline
      \end{tabular}
      \end{center}

\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\smallskip
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
\smallskip
\item On veut démontrer que la suite $(w_n)$ est décroissante à partir du rang 3.
	\begin{enumerate}
	 \item Etudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $[0;\pI[$.
	 \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n=\dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}$
	 \item En déduire que si $n \geq 3$ alors $w_{n+1} \leq w_n$ et conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage

\exo{}{(2 pts)} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 0\\
u_{n+1} &=& \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}~~~ \text{(pour tout entier naturel }\:n)\:
\end{array}\right.\]

et la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}$.\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item On donne $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$, et la droite $D$ d'équation $y = x$. Placer sur l'axe des abscisses les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.\\

Quelles conjectures peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{suites.eps} \end{center}
\end{minipage}
\medskip
\item \textbf{Bonus} : Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\smallskip
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
		\smallskip
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n~:~u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2$
		\smallskip
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo






\end{document}