\documentclass[12pt]{article}
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  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 4 (1H15)}{}{T\up{ale}S spé}{24 novembre 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}+


\exo{}{(2,5 pts)}\\
Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x;y)$ solutions de l'équation : $x^2-2xy-7=0$
\finexo

\exo{}{(3 pts)} Soit $A_n=4^{2n+3}+1$, $n \in \N$.\\
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $A_n$ est divisible par 5.
\finexo

\exo{}{(3 pts)}
\begin{enumerate}
\item Ecrire la liste des nombres premiers inférieurs à 50.
\item Le nombre 1~517 est-il premier ? (justifier soigneusement la démarche)
\item Quels sont les entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant $a^2=b^2+1~517$ ?
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(11,5 pts)} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$\\
le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Vérifier que $S(6) = 12$.
	\item Calculer $S(7)$ et $S(45)$.
	\end{enumerate}

\item Compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il calcule et affiche $S(n)$ pour un entier $n$ donné.\\
\begin{lstlisting}[language=python]
Demander un entier naturel n
S=0
pour i allant de ............... faire
  si ........................... alors
    S=...............
  fin si
fin pour
Afficher .....
\end{lstlisting}	
	
	
\item \begin{enumerate}
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
	\item Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
 	\end{enumerate}
 	
\item On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$, avec $p$, $q$ des nombres premiers distincts.\\
      Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.

\item  On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$,\\
où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
	\item Quels sont les diviseurs de $n$ ?
	\item En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
 	\end{enumerate}

\item On considère la proposition suivante :\par
	\og Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ \fg.\\
	Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(Bonus)}\\
Montrer que, si les nombres $p$ et $8p-1$ sont premiers, alors $8p+1$ est composé.\\
On pourra raisonner avec le reste de la division euclidienne de $p$ par 3.
\finexo


\end{empfile}
\end{document}