\documentclass[12t]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 10 (45min...)}{}{T\up{ale}S spé}{20 avril 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}



\exo{}{(10 pts)}\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités,\\
le programme A : cirque - éveil musical, et le programme B : théâtre - arts plastiques.\\
À sa création en 2014, l'association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme A.\\
Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à $150$.\\

\smallskip
On dispose également des informations suivantes :\\
Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.\\
D'une année à l'autre, 20\,\% des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40\,\% choisissent le programme B. Les autres quittent l'association.\\
D'une année à l'autre, 60\,\% des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l'association.\\
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

\smallskip

On modélise le nombre d'inscrits au programme A et le nombre d'inscrits au programme B durant l'année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne
$\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$.\\
On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times  0,2^n &75 - 75 \times  0,2^n\end{pmatrix}$.
\item En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'association affecte à chaque enfant un  numéro à 6 chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant,
les trois suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :
\setlength\parindent{0,8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
\item[$\bullet~~$]on effectue la division euclidienne de $S$ par 10, le reste obtenu est la clé $k$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
	\begin{enumerate}
	\item Le numéro 111383 peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?
	\item L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011.\\
	Ainsi, le numéro 08$c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
	\end{enumerate}
\item On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis.\\
      On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$\\
	si et seulement si $(a -1)\left(c_4 - c_3\right)$ est congru à 0 modulo 10.
	\item Déterminer les entiers $n$ compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre 1 et 9\\
	tel que $np \equiv  0  \quad(10)$.
	\item En déduire les valeurs de l'entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement\\
	l'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\end{empfile}
\end{document}