\documentclass[11pt]{article}
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  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 7 (1/2h)}{}{T\up{ale}S spé}{1 février 2019}


\exo{}{(10 pts)} Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par
\begin{center} $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 3u_n + 1$\end{center}

On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est entier.

\begin{enumerate}
%\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\item Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
%\item L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier.\\
%      Affirmation: \og Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. \fg
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $2u_n = 3^n - 1$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à 1 modulo 7.
	\item En déduire que $u_{\np{2022}}$ est divisible par $7$.
 	\end{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
	%\item Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
	\item Sans justification, compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline	
Reste de la division euclidienne de $m$ par 5 	&0 	&1 	&2 	&3 	&4\\ \hline
Reste de la division euclidienne de $3m + 1$ par 5&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\\
	si $u_n$ est congru à 4 modulo 5, alors $u_{n+4}$ est congru à 4 modulo 5.
	\item Existe-t-il $n \in \N$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par 5 soit égal à 2 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

Bonus :
\begin{enumerate}
\item L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier.\\
	Affirmation: \og Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. \fg
\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n$,\: $2u_n = 3^n - 1$
\item Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$
\end{enumerate}
\finexo






\end{empfile}
\end{document}