\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº8 - Suites - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{17 mars 2015 - 1h}  \end{center}

\exo{}{(14 points)} On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&1\\
u_{n+1} &=& \dfrac{1}{2}u_n+n-1
\end{array}\right.\]
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer par récurrence que pour tout entier supérieur ou égal à 3, $u_n \geq 0$.
        \item En déduire que pour tout entier supérieur ou égal à 4, $u_n \geq n-2$.
        \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
       \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Compléter l'algorithme suivant, pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geq 10^9$ :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Variables}\\
$n$ est un entier naturel\\
$u$ est un réel\\

\textbf{Traitement}\\
$n$ prend la valeur .........\\
$u$...................................\\
Tant que .............................  
faire\\
$u$ ..........................................\\
$n$...........................................\\
Fintantque\\

\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $n$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Est-on sûr que l'algorithme va s'arrêter ?
\vspace{0.2cm}

 \item On définit la suite $(v_n)$ sur $\N$ par : \[v_n=4u_n-8n+24\]
	\begin{enumerate}
        \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
        \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ : \[u_n = \dfrac{7}{2^n}+2n-6\]
        \item En utilisant cette expression, retrouver la limite de $(u_n)$.
       \end{enumerate}
 \vspace{0.2cm}

 \item Soit $S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}$ $u_k=u_0+u_1+...+u_n$ pour $n \in \N$.
	\begin{enumerate}
	 \item Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n=x_n+y_n$,
		où $(x_n)$ est une suite géométrique et $(y_n)$ est suite arithmétique, dont on précisera pour chacune, le premier terme et la raison.
	 \item En déduire l'expression de $(S_n)$ en fonction de $n$ entier naturel.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(6 points)}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}.\]
On considère la suite définie pour tout $n \in \N$ par : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&4\\
u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$\\
et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
	\item Sur le graphique, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$. Faire apparaître les traits de construction. 
	\item Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. 
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n \in \N$. 
	\item Montrer que pour tout $n \in \N$, on a : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$. 
	\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\item Question bonus : déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}

\vspace{2cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,4.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](5.5,2.3){$\mathcal{C}$}
\psline(-1,-1)(5,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 4 x 1 add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\finexo






\end{document}