\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage{tabularx}
  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonction Ln - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{16 janvier 2017 - 1h}  \end{center}


\exo{}{(3 pts)} \textbf{Restitution Organisée de Connaissances}\par
\medskip
\textbf{Prérequis :} On sait que $\limite{t}{\pI} \dfrac{\ln t}{t} = 0$ et que pour tout $t \in ]0;\pI[$, on a $\ln(\dfrac{1}{t})=-\ln(t)$.\par
\medskip
Montrer que $\limite{x}{0} x \ln x = 0$.
\finexo
\bigskip

\exo{}{(4 pts)} Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On dispose des informations suivantes :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1~;~0), (1~;~2), (0~;~2) ; 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B ; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
			 
\[f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}. \]

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$ (justifier).  
\item Déterminer pour tout réel strictement positif, la fonction $f'$, fonction dérivée de $f$. 
\item En déduire les réels $a$ et $b$.
\end{enumerate} 
\finexo



\newpage
\exo{}{(13 pts)}\par
\medskip

\textbf{Partie A :} Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$. 
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$ ; on note $\alpha$ cette solution. 
	\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.
\end{enumerate}
\medskip
 
\textbf{Partie B :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[,\:f'(x)$ en fonction de $u(x)$. 
\item En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\medskip
 
\textbf{Partie C :} Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ; 
\item[$\bullet~$] $A$ le point de coordonnées $(0~;~2)$ ; 
\item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \sqrt{f(x)}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \sqrt{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$. 
	\item Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées. 
	\item Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\finexo



\end{document}