\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage{fourier} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} %\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012} \begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Fonction Ln - Primitives - Equations différentielles - TSpé maths}} \end{center} \begin{center} \large{14 janvier 2021 - 2h} \end{center} \exo{}{(9,5 pts)} On considère l'équation notée $(E) : \ln x = -x$.\\ Le but de l'exercice est de prouver que l'équation $(E)$ admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. \begin{center}\textbf{Partie A : Existence et unicité de la solution}\end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x + \ln x\] \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.\\ \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.\\ \item Vérifier que $\dfrac{1}{2} \leqslant \alpha \leqslant 1$. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B : Encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$ \begin{enumerate} \item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g(x)$ en $0$ et en $\pI$.\\ \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.\\ \item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ est solution de l'équation $(E)$\\ si et seulement si $g(x) = x$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que\\ pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.\\ \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \item \textbf{Bonus :} Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$ \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à $10^{-6}$.\\ \item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près \mbox{de $\alpha$.}\\ En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant \alpha \leqslant v$,\\ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \newpage \exo{}{(3,5 pts)} Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f(x)=x^2+2+\dfrac{1}{x^3}$ sur $]0;\pI[$ \vspace{0.4cm} \item $g(x)=x(x^2-1)^3$ sur $\R$ \vspace{0.4cm} \item $h(x)=\text{e}^{-3x}$ sur $\R$ \vspace{0.4cm} \item $k(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}$ sur $[-1;1]$ \vspace{0.4cm} \item $j(x)=\dfrac{1}{3x+1}$ sur $]\dfrac{-1}{3};\pI[$ \end{enumerate} \end{multicols} \finexo \exo{}{(9 pts)}\\ \begin{minipage}{10cm} \begin{center} \includegraphics[scale=0.15]{photo.eps} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} Une équipe de biologistes cherche à étudier\\ l'évolution d'une population de petits rongeurs. \end{minipage} \begin{enumerate} \item Elle étudie d'abord en laboratoire l'évolution d'une population qui compte initialement 50 individus.\\ La taille de la population $t$ années après le début de l'expérience est notée $f(t)$ et exprimée en centaines d'individus. On peut montrer que la fonction $f$ est solution, sur l'intervalle $[0;\pI[$, de l'équation différentielle : \[ (E_1) : y'=\dfrac{y}{4} ~~~~ \text{avec} ~~~ f(0)=0,5\] \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $f(t)$.\\ \item Déterminer le sens de variation de $f$, puis la limite de $f(t)$ en $\pI$, et interpréter les résultats obtenus.\\ \item Au bout de combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs ? \end{enumerate} \item En réalité, dans le milieu naturel où évolue ce petit rongeur, un prédateur limite la croissance de la population.\\ On note $g(t)$ le nombre de rongeurs, en centaines d'individus vivants $t$ années après le début de l'étude.\\ Pour modéliser l'évolution de cette population, les scientifiques ont utilisé un modèle dit de Verhulst et on admet que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle, appelée \textbf{équation logistique} : \[ (E_2) : y'=\dfrac{y}{4}-\dfrac{y^2}{12}~~~ \text{avec} ~~~ g(0)=20\] \begin{enumerate} \item On supose que, pour tout réel positif $t$, on a $g(t)>0$.\\ On définit la fonction $h$ sur $[0;\pI[$ par $h=\dfrac{1}{g}$.\\ Montrer que que $g$ est solution de $(E_2)$ si et seulement si $h$ est solution de l'équation différentielle : \[ (E_3) : y'=-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{1}{12}\] \item Donner toutes les solutions de l'équation $(E_3)$ et en déduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de $g$.\\ \item Déterminer le sens de variation de $g$, puis la limite de $g(t)$ en $\pI$ et interpréter les résultats obtenus. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \end{document}