\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage{fourier} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} %\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012} \begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Géométrie dans l'Espace - TSpé maths}} \end{center} \begin{center} \large{4 février 2021 - 1h} \end{center} \exo{}{(10 pts)}\\ \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(7,7) \pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} \uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} \psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG \psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD \psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR \uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7) \end{pspicture}}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère un cube $ABCDEFGH$ de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par : \[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}} \: \text{et}\: \vect{\text{HR}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{HE}}.\] Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ avec : \[\vect{\imath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AB}},\: \vect{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vect{k} =\dfrac{1}{6}\vect{\text{AE}}.\] Dans ce repère, on a par exemple: \[\text{B}(6~;~0~;~0),\: \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\: \text{R}(0~;~4~;~6).\] } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justifier, les coordonnées des points $P$, $Q$ et $\Omega$. \item Montrer que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan. \item Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vect{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan $(PQR)$ . \item En déduire qu'une équation du plan $(PQR)$ est : $x - y+ z - 2 = 0$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \item \begin{enumerate} \item On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $(PQR)$ passant par le point $\Omega$, centre du cube.\\ Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan $(PQR)$ au point $I$ de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$. \item Calculer la distance $\Omega I$. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} \item On considère les points $J(6~;~4~;~0)$ et $K(6~;~6~;~2)$. \begin{enumerate} \item Justifier que le point $J$ appartient au plan $(PQR)$. \item Vérifier que les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont parallèles. \end{enumerate} \vspace{0.2cm} Bonus : Sur la figure donnée ci-dessous, tracer la section du cube par le plan $(PQR)$. \end{enumerate} \finexo \begin{center} \psset{unit=1.3cm,linewidth=1.3pt} \begin{pspicture}(7,7) \pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} \uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} \psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG \psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH \psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD \psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR \uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R} \end{pspicture} \end{center} \newpage \exo{}{(10 pts)} Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé de l'espace, on note $d$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[ d :\;\left\{\begin{array}{l c l} x &=& -1 + t\\ y &=& \phantom{-}2 - t\\ z &=&\phantom{-}3 + t \end{array}\right.\;\; (t \in \R)\] On note $d'$ la droite passant par le point $B(4;4;- 6)$ et de vecteur directeur $\vect{v}(5;2; -9)$.\\ \vspace{0.2cm} \textbf{Affirmation 1} : \og Les droites $d$ et $d'$ sont coplanaires. \fg\\ \vspace{0.2cm} \item Dans un repère de l'espace, on donne les points $A(0;1;-1)$, $B(2;1;;3)$, $C(-3;-1;1)$ et $D(7;3;-1)$.\\ \vspace{0.2cm} \textbf{Affirmation 2} : \og Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.\fg\\ \vspace{0.2cm} \item Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par le point $A(-3;7;-12)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(1;-2;5)$.\\ Soit $d'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &=&2t-1\\ y &=& -4t + 3\\ z &=&10t - 2 . \end{array}\right.,\:\: (t \in \R)$\\ \vspace{0.2cm} \textbf{Affirmation 3} : \og Les droites $d$ et $d'$ sont confondues.\fg \\ \vspace{0.2cm} \item On considère un cube $ABCDEFGH$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$ \parbox{0.55\linewidth}{Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est $\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t\\ y&=&t\\ z&=&t \end{array}\right.\:\: (t \in \R)$\\ On considère un point $M$ de la droite $(AG)$.}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5.5) \psline(0.7,0.6)(3.8,0.4)(5.5,1)(5.5,4.5)(3.8,3.9)(0.7,4.1)(2.4,4.7)(5.5,4.5)%ABCGFEHG \psline(0.7,0.6)(0.7,4.1)%AE \psline(3.8,0.4)(3.8,3.9)%BF \psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(2.4,1.2)(2.4,4.7)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.4,1.2)(5.5,1)%DC \uput[d](0.7,0.6){A} \uput[d](3.8,0.4){B} \uput[r](5.5,1){C} \uput[d](2.4,1.2){D} \uput[ul](0.7,4.1){E} \uput[u](3.8,3.9){F} \uput[u](5.5,4.5){G} \uput[u](2.4,4.7){H} \psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{0}{6}{39 x mul 48 div 1.5 48 div add} \uput[u](3,2.469){$M$} \psline(2.4,1.2)(3,2.469)(3.8,0.4) \psline(3.1,2.2)(3,1.93)(2.84,2.195) \end{pspicture}} \vspace{0.2cm} \textbf{Affirmation 4} : \og Il y a exactement deux positions du point $M$ sur la droite $(AG)$ telles que les droites $(MB)$ et $(MD)$ soient orthogonales.\fg \end{enumerate} \finexo \end{document}