\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+ \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Devoir nº10 - Épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques}} \end{center} \begin{center} \large{28 fev 2022 - 2h} \end{center} \exo{}{(5 pts)} \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}\\ \begin{enumerate} \item Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.\\ Le nombre de combinaisons possibles est :\\ \textbf{Affirmation 1} : 1320 \medskip \item Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.\\ Une étude statistique montre que 2,8\,\% des puces ont le défaut A, 2,2\,\% des puces ont le défaut B et,\\ heureusement, 95,4\,\% des puces n'ont aucun des deux défauts.\\ La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :\\ \textbf{Affirmation 2} : 0,004 \bigskip Dans les questions suivantes, on se place dans un repère orthonormé \Oijk~ de l'espace. \medskip \item On considère les points $A$, $B$ et $C$ avec $A(-2~;~2~;~3)$, $B(0~;~1~;~2)$ et $C(4~;~2~;~0)$.\\ On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.\\ Soit la droite $d$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1+ t\\ y &=& 2,\\ z &=& 3 + 2t \end{array}\right. t \in \R$.\\ \textbf{Affirmation 3} : la droite $d$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \medskip \item Soient les points $E(2~;~1~;~- 3)$ et $F(1~;~-1~;~2)$.\par \textbf{Affirmation 4 :} Une représentation paramétrique de la droite $(EF)$ est donnée par : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&-3 + 4t,\\ z&=&7-10t \end{array}\right. t\: \in \R.\] \medskip \item Soit la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t+2\\ y&=&-2t,\\ z&=&3t-1 \end{array}\right. t\: \in \R.\] \textbf{Affirmation 5 :} la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ $(I,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ avec $I(3;0;0)$, $\overrightarrow{u}(1;-1;1)$ et $\overrightarrow{v}(0;1;-2)$ \end{enumerate} \finexo \newpage \exo{}{(7,5 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \smallskip \item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$. \end{enumerate} \medskip \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a : \[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\] où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \item Dresser le un tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. \medskip \item Soit $m$ un nombre réel.\\ Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$. \medskip \item On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.\\ On note A un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0$. \smallskip \item On note $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2 $.\\ On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.\\ Calculer $g'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$. \smallskip \item Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \newpage \exo{}{(7,5 pts)} Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique. Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. \smallskip Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &0,6\\ u_{n+1} &= &0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$. \begin{enumerate} \item Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. \end{enumerate} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par \[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\] \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations. \medskip \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$. \end{enumerate} On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$. \smallskip \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \smallskip \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \medskip \item Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. \begin{enumerate} \item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. \smallskip \item Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous: \begin{center} \fbox{ \begin{tabular}{l}%\hline def menace()\\ \quad u = 0,6\\ \quad n = 0\\ \quad while u $>$ 0,02\\ \hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\ \hspace{1cm} n = n+1\\ \quad return n\\ %\hline \end{tabular} } \end{center} Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \end{document}