\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage{fourier} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Suites - TS}} \end{center} \begin{center} \large{7 octobre 2021 - 1h20} \end{center} \exo{}{(9,5 points)}\\ \textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\] Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire les variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.\\ \textbf{Partie B :} Ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.\\ Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.\\ \begin{enumerate} \begin{minipage}{6cm} \item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, placer les termes $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$ sur l'axe des abscisses. Laisser les tracés apparents.\\ Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et sa limite éventuelle. \end{minipage} \begin{minipage}{12cm} \begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1) \multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)} \multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x} \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div} \uput[l](0.8,0.8){$\Delta$} \uput[u](1.8,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~ 0 < u_{n+1}\leq u_{n}\leq1$.\\ \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $f(x)=x$. \\ Résoudre cette équation et déterminer la valeur de cette limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C :}\\ \begin{minipage}{10cm} Soit la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\] Compléter l'algorithme ci-contre afin qu'il calcule $S_{100}$. \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline Déclaration des variables :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $S$ et $u$ sont des nombres réels\\ $k$ est un nombre entier \end{tabular}\\ Initialisation :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $u$ prend la valeur \ldots \ldots\\ $S$ prend la valeur \ldots \ldots\\ \end{tabular}\\ Traitement :\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\ \hspace{1cm}\begin{tabular}{l} $u$ prend la valeur $u \times \text{e}^{- u}$\\ $S$ prend la valeur \ldots.\\ \end{tabular}\\ Fin Pour\\ Afficher \ldots \ldots\\ \end{tabular}\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{minipage} \finexo \newpage \exo{}{(10,5 points)} En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \np{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\% de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \np{1000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n,\, u_{n+1} = 0,9u_n + 250$. \item La fonction Python nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10). \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline def suite( n) :\\ \quad u = \np{1000}\\ \quad for i in range(n) :\\ \qquad u = 0,9*u + 250\\ \quad return u\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant \np{2500}$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \bigskip \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \np{2500}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et vérifier que : \[u_n = - \np{1500} \times 0,9^n + \np{2500}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \item En quelle année le nombre d'abonnés dépassera \np{2200} ? \end{enumerate} \finexo \exo{}{(Bonus)} Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$,\: \[u_{n+1} = u_n + 3^n -7 \] On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_{n+1}-u_n$.\\ On pose $S_n=v_0+v_1+ ... +v_{n-1}$ pour tout $n \in \N$ \begin{enumerate} \item Calculer cette somme de deux manières différentes. (en fonction de $u_n$, puis en fonction de $n$) \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \finexo \end{document}