\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Limites, Continuité et Dérivabilité - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{15 novembre 2021 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(3 pts)}  Soit 
\[ f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \ \ \ &\text{si $x > 1$}\\
\\
\dfrac{2x-1}{3x+1} &\text{si $0 \leq x\leq 1$}
\end{cases}
\]
La fonction $f$ est-elle continue sur $[0;\pI[$ ?
\finexo


\exo{}{(3 pts)}  Soit 
\[ f(x)=
\begin{cases}
x^2-3x-2 \ \ \ &\text{si $x \leq 1$}\\
\\
\dfrac{x-5}{x} &\text{si $x > 1$}
\end{cases}
\]
La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?
\finexo


\exo{}{(7 pts)}\\
\begin{minipage}{10cm}
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=5\\
u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4} \quad \text{pour tout } n\in \N
\end{array}
\right. \]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$ dont la courbe représentative $\calc$ est donnée ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \psset{unit=0.7cm,plotpoints=200}
\begin{pspicture*}(-4,-4.9)(6,3)
\centering
\psaxes{->}(0,0)(-4,-4.9)(6,3)
\psplot{-3.5}{6}{x 2 mul 3 add x 4 add div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item A l'aide du graphe, conjecturer sur le sens de variation de $(u_n)$ et la convergence de $(u_n)$.\\

\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-4~;~+\infty[$.\\

\item Montrer que pour tout $n\in \N$ on a $1\leq u_{n+1}\leq u_n$.\\

\item Justifier la convergence de la suite $(w_n)$, puis déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(11 pts)} \textbf{Partie A :} Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x)=4x^3-3x-8\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $\pI$ et en $\mI$ (on pourra utiliser le théorème pour les fonctions polynômes).
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$ que l'on note $\alpha$. \par
      Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Déterminer le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\vspace{0,2cm}

\textbf{Partie B :} Soit la fonction $f$ définie sur $]\dfrac{1}{2};\pI[$ par \[f(x)=\dfrac{x^3+1}{4x^2-1}\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$ (on pourra utiliser le théorème pour les fonctions rationnelles).
       \item Déterminer la limite de $f$ en $\dfrac{1}{2}$ ; que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
      \end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(4x^2-1)^2}$.
       \item Dresser le tableau de variations de $f$.
      \end{enumerate}      
\end{enumerate}
\vspace{0,2cm}

\textbf{Partie C :} Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=\dfrac{1}{4}x$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f(x)-\dfrac{1}{4}x=\dfrac{x+4}{4(4x^2-1)}$ sur $]\dfrac{1}{2};\pI[$.\\
 
\item \begin{enumerate}
       \item En déduire la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.
       \item Pour tout réel $x> \dfrac{1}{2}$, on considère les points $M$ et $N$ d’abscisses $x$ respectivement 
        sur $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.\\
        Que peut-on conjecturer sur la distance $MN$ lorsque $x$ tend vers $\pI$ ?\\
      \end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Partie D :}

\begin{enumerate}
 \item On souhaite déterminer un encadrement de $\alpha$ par balayage.\\
Parmi les 3 algorithmes suivants, un seul fonctionne ; préciser lequel et pourquoi.

\begin{center}  \includegraphics[scale=0.6]{algos.eps}\end{center}
\item En utilisant la définition de $\alpha$, montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{8}\alpha$ ; en déduire un encadrement de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}