\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonction Ln - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{13 janvier 2022 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(11 pts)} On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, 
\text{où }\, a \text{~et~}\, b \text{~sont deux nombres réels}.\]
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

\smallskip
\begin{itemize}
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ;
\item la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $\left(\dfrac{1}{\text{e} }~;~\text{e}\right)$ ;
\item la tangente $\mathcal{T}_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1~;~2)$.
\end{itemize}

\smallskip
La droite $\mathcal{T}_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $\mathcal{T}_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3~;~0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0~;~3)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.7)(8,3.7)
\multido{\n=-0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,3.5)}
%\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
\multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.50,\n) }
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.127}{7.50}{x ln 2 add x div}
\psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{7.50}{2.71828}
\psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{3.50}{x neg 3 add}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.1](0.367879,2.71828)(1,2)
\uput[ur](0.468,2.81828){A}\uput[ur](1.1,2.1){B}
\uput[u](6.5,2.5){\cyan $\mathcal{T}_A$}
\uput[r](2.2,0.5){\cyan $\mathcal{T}_B$}
\uput[r](5,0.5) {\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
\medskip

\textbf{\textsc{Partie} I}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
\smallskip
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :
\[f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}\]
\item En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie} II :} On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) =\dfrac{2+\ln(x)}{x}\]

\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
\smallskip
\item Déterminer les limites de $f$ quand $x$ tend vers 0 et quand $x$ tend vers $+\infty$.
\smallskip
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. On admet que, pour tout $x\in]0~;~+\infty[$ : $f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}$\\
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\finexo




\exo{}{(9 pts)} On considère la fonction $f$ est définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\smallskip
\item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
\smallskip
\item En déduire le tableau des variations de $f$.
\item \begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in  \R$,\,  $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$.

Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}