\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+ \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Baccalauréat Métropole 8 juin 2021}} \end{center} \begin{center} \large{5 mai 2022 - 2h} \end{center} \begin{center} \large{Le candidat traite 2 exercices.} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}\\ \smallskip Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.\\ La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.\\ Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40\,\% la proportion de chats porteurs de la maladie.\\ On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.\\ Ce test possède les caractéristiques suivantes.\\ \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90\,\% des cas. \item[$\bullet~~$] Lorsque le chat n'est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85\,\% des cas. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :\\ \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ : \og Le chat est porteur de la maladie\fg{} ; \item[$\bullet~~$] $T$ : \og Le test du chat est positif\fg ; \item[$\bullet~~$] $\overline{M}$ et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires des évènements $M$ et $T$ respectivement. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre pondéré. \smallskip \item Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif. \smallskip \item Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$. \smallskip \item On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie. \end{enumerate} \medskip \item On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l'on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l'échantillon choisi. \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$. \smallskip \item Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif. \smallskip \item Calculer la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif. \smallskip \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \item Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu'on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_n$ la probabilité qu'il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon. \begin{enumerate} \item Montrer que $p_n = 1 - 0,55^n$. \smallskip \item ~ \begin{minipage}{6cm}Décrire le rôle du programme ci-contre écrit en langage Python, dans lequel la variable $n$ est un entier naturel et la variable $P$ un nombre réel. \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{6cm} \begin{tabular}{|l|}\hline def seuil():\\ \qquad $n=0$\\ \qquad $P=0$\\ \qquad while $P< 0,99$ :\\ \qquad \quad $n = n+1$\\ \qquad \quad $P=1 - 0,55**n$\\ \qquad return $n$\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \smallskip \item Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}\\ \smallskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item ~ \parbox{0.7\linewidth}{ La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_n}$, (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales). À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$ en fonction de $n$. Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question \textbf{5.}), et d'en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (question \textbf{6.}).}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{ $\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline n&u_n&\dfrac{4}{u_n}\\ \hline 0 &1,00 &4\\ \hline 1 &0,80 &5\\ \hline 2 &0,67 &6\\ \hline 3 &0,57 &7\\ \hline 4 &0,50 &8\\ \hline 5 &0,44 &9\\ \hline 6 &0,40 &10\\ \hline 7 &0,36 &11\\ \hline 8 &0,33 &12\\ \hline 9 &0,31 &13\\ \hline 10 &0,29& 14 \\ \hline 11 &0,27& 15 \\ \hline 12 &0,25 &16\\ \hline \end{array}$} \medskip \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$. \medskip \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \medskip \item Que peut-on conclure des questions \textbf{2.} et \textbf{3.} concernant la suite $\left(u_n\right)$ ? \medskip \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.\\ Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.\\ Préciser sa raison et son premier terme.\\ En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \medskip \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.\\ En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}\\ \smallskip \begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center} On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$. À l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses : \medskip \begin{enumerate} \item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \medskip \item La convexité de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div neg} \rput(1,-1.5){Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.} \end{pspicture*} \end{center} \smallskip \begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center} \smallskip On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par : \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.\\ On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+ 2\text{e}^{-x}.\] En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.\\ Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.\\ On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,\, $f'(x) = (- x - 1)\text{e}^{-x}$. \smallskip \item Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \smallskip \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \medskip \item Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ? \end{enumerate} \end{document}