\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+ \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Baccalauréat Polynésie 2 juin 2021 - Espace}} \end{center} \begin{center} \large{7 avril 2022 - 1h} \end{center} \begin{minipage}{8cm} Dans l'espace, on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. On considère le point M tel que $\vect{\text{BM}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BH}}$. \end{minipage} \begin{minipage}{10cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-2.75)(4.5,5.5) \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,5.5)\uput[u](0,5.5){$z$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(4.5,-1.8)\uput[dr](4.5,-1.8){$y$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(-4,-2)\uput[dl](-4,-2){$x$} \pspolygon[linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(0.5,-2.4)(2.85,-1.1)(2.85,2.6)(0,3.6)(-2.4,2.3)%BCDHEF \psline[linewidth=1.25pt](-2.4,2.3)(0.5,1.06)(2.85,2.6)%FGH \psline[linewidth=1.25pt](0.5,1.06)(0.5,-2.4)%GC \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.4,-1.16)(2.85,2.6) \psdots(-0.65,0.093) \uput[ul](-0.65,0.093){M} \uput[d](-2.4,-1.16){B} \uput[d](0.5,-2.4){C} \uput[d](2.85,-1.1){D} \uput[r](2.85,2.6){H} \uput[ur](0,3.6){E} \uput[l](-2.4,2.3){F} \uput[d](0,0){A} \uput[u](0.5,1.06){G} \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H. \smallskip \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse. \item On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$. Montrer que l'aire du triangle EGD est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \end{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~; ~\dfrac{1}{3}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que le vecteur $\vect{n}(-1~;~1~;~1)$ est normal au plan (EGD). \smallskip \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EGD) est: $- x + y + z - 1 = 0$. \smallskip \item Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M. Montrer qu'une représentation paramétrique de cette droite est: \renewcommand\arraystretch{1.7} \[\mathcal{D} \, :\, \left\{\begin{array}{l c l} x&=&\dfrac{2}{3} - t\\ y&=&\dfrac{1}{3} + t\\ z&=&\dfrac{1}{3} + t \end{array}\right., \, t \in \R\] \renewcommand\arraystretch{1} \end{enumerate} \item Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :\\ \begin{minipage}{10cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-7,-0.5)(2,6.8) \psline[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-4.2,0.6)(-0.5,2.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DMEG \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](-2.9,6.2)(-4.2,0.6)(-0.5,2.6)%GDM \psline[linewidth=2pt](-4.2,0.6)(0,4.2)(-2.9,6.2)%DEG \psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.9,2.3)\uput[ur](1.9,2.3){$x$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(-6.4,0.9)\uput[ul](-6.4,0.9){$y$} \psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,6.2)\uput[u](0,6.2){$z$} \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(1.3,1.55)(1.3,5.8)(-2.9,6.2)(-4.2,4.6)(-4.2,0.6)%ABFGHDA \psline[linewidth=1.25pt](-4.2,4.6)(0,4.2)(1.3,5.8)%HEF \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](1.3,1.55)(-2.9,2.1)(-2.9,6.2)%BCG \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-2.9,2.1)(-4.2,0.6)%CD \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](-0.5,2.6)(0,4.2)%ME \uput[d](-0.5,2.6){M} \uput[r](1.3,1.55){B} \uput[ul](-2.9,2.1){C} \uput[d](-4.2,0.6){D} \uput[l](-4.2,4.6){H} \uput[r](0,4.2){E} \uput[r](1.3,5.8){F} \uput[d](0,0){A} \uput[u](-2.9,6.2){G} \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{8cm} Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM. \begin{enumerate} \item Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.\\ Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right)$. \smallskip \item En déduire le volume de la pyramide GEDM.\\ \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule } \emph{$V = \dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée}. \end{enumerate} \end{minipage} \end{enumerate} \end{document}