\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{variations}
\usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}
  \setlength{\parindent}{0pt}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}+
   \fi

\usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

\usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
  \setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
\usepackage[np]{numprint}

\usepackage[official,right]{eurosym}
\usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}

\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

\begin{center} \textbf{\large{Baccalauréat Métropole 13 sept 2021 - Fonction ln}}  \end{center}
\begin{center}  \large{23 mars 2022 - 1h}  \end{center}


\textbf{Partie I}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
\item Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~ +\infty[$, on a:

\[h'(x) = \dfrac{1 - \ln (x)}{x^2}.\]

\smallskip

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0~;~ +\infty[$. 

Justifier que l'on a : $0,5 < \alpha < 0,6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans cette partie, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = x \ln (x) - x \qquad et   \qquad g(x) = \ln (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij.

Pout tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en son point d'abscisse $a$ ;
\item[$\bullet~~$] $D_a$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ en son point d'abscisse $a$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Les courbes  $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.06pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-2)(6.9,5.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{7}{x ln x mul x sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{7}{x ln}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0.01}{7}{1.833 x mul 6.254 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0.01}{7}{0.162 x mul 0.833 add}
\uput[u](1,1){\blue $D_a$}\uput[r](2.9,-1){\red $T_a$}\uput[l](4.3,2){\red $\mathcal{C}_f$ }
\uput[r](0.2,-1.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
%\psplotTangent[linecolor=red]{6.25}{4cm}{x ln}
%\psplotTangent[linecolor=blue]{6.25}{4cm}{1 x div}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](6.25,0)(6.25,5.204)
\uput[d](6.25,0){$a$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On recherche d'éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires. 

Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
\item Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln (a)$.
\end{enumerate}

On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$\\
sont perpendiculaires si et seulement si $mm' = -1$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer qu'il existe une unique valeur de $a$, que l'on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}


\end{document}