\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº2 - Suites - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{5 octobre 2023 - 55 min}  \end{center}


\exo{}{(15 pts)} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 0\\
u_{n+1} &=& \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}~~~ \text{(pour tout entier naturel }\:n)\:
\end{array}\right.\]

et la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}$.\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
\medskip
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item On donne $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$, et la droite $D$ d'équation $y = x$. Placer sur l'axe des abscisses les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.\\

Quelles conjectures peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{suites.eps} \end{center}
\end{minipage}
\medskip
\item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
\medskip
\item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def terme (n) :}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{for i in range(n):}\\
\hspace{1.25cm}\texttt{u = \ldots}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{return(u)}\\ \hline
\end{tabular}
\qquad 
\begin{tabular}{p{10.5cm}}
On rappelle qu'en langage Python, \og \texttt{i in range (n)} \fg{}\\ signifie que $i$ varie de $0$ à $n - 1$.
\end{tabular}
\end{center}

Compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme (n)} renvoie la valeur de $u_n$.
\medskip
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]- 3~;~+\infty[$.
\medskip
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n$
\medskip
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\medskip
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}$
	\begin{enumerate}
		\item Donner $v_0$.
		\smallskip
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
		\smallskip
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n~:~u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2$
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(5 pts)} Déterminer les limites des suites suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=-n^2+3n+5$ ($n \in \N$)
\item $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ($n \in \N^*$)
\item $w_n=3^n-5^n$ ($n \in \N$)
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\vspace{2cm}
\exo{}{(Bonus)} Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : \[p_n = n^2 - 42n + 4\]
\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
\bigskip

\item Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$
\item[$\bullet~~$] $v_n = u_n^2 - 1$ pour tout entier naturel $n$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\vspace{0.2cm}
\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
\bigskip

\item On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$,
\[n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n\]
\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
\end{enumerate}
\finexo







\end{document}