\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº4 - Suites et Fonctions - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{25 octobre 2023 - 1h20 min}  \end{center}



\exo{}{(5 pts)} Déterminer la limite de chaque fonction à l'endroit indiqué, et préciser l'asymptote s'il y a lieu.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
\item $\dfrac{-3x+4x^3}{3x^3+x-3}$ ; en $\mI$
\vspace{1cm}
\item $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x+1}$ ; en $\pI$
\vspace{1cm}
\item $\dfrac{2\sin(x)+x+1}{x}$ ; en $\mI$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{(12 pts)} On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\medskip
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}$\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\		
        \smallskip
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\smallskip
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par : $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\smallskip
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\smallskip
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.\\		
        En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\medskip	


\begin{minipage}{12 cm}
\item
On considère la fonction Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.\\

\smallskip
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{def}&seuil (A) :\\
&n = 0\\
&u = 8\\
&\textbf{while} u $>$ A :\\
&\qquad u = (6*u + 2)/(u + 5)\\
&\qquad n = n + 1\\
&\textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(4 pts)} Dans tout ce qui suit, $m$ désigne désigne un nombre réel quelconque.\\

\textbf{Partie A :} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par : $f(x) = (x+1)\text{e}^x$


\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $\pI$ et en $\mI$.
\medskip
\item Déterminer $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\medskip
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\medskip


\textbf{Partie B (Bonus) :} On définit la fonction $g_m$ sur $\R$ par $g_m(x)=x+1-m\text{e}^{-x}$.\\
et on note $C_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Démontrer que $g_m(x)=0$ si, et seulement si, $f(x)=m$.
		\smallskip
		\item Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $C_m$ avec l'axe des abscisses en fonction de $m$.
       \end{enumerate}
\medskip	
\item Etudier la position relative de la courbe $C_m$ par rapport à la droite $D$ d'équation $y=x+1$ suivant les valeurs de $m$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}