\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Ln - TSpé}}  \end{center}
\begin{center}  \large{14 décembre 2023 - 1h15}  \end{center}




\exo{}{(12 pts)} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$  par : \[f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln (x).\]
% Bac nouvelle Caledonie 28 aout 2023
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.\\
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		\smallskip
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\medskip	
\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$, \[f''(x) = 4(1 - \ln (x)).\]
		\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
		\smallskip
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\ (On admettra que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} f'(x) = 2$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = - \infty$.)
	\end{enumerate}
\medskip	
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
		\smallskip
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item \begin{enumerate}
		\item En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $\ln (\alpha) = \dfrac{4\alpha + 1}{2\alpha}$.\\
		        En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.
        \smallskip
		\item En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(8 pts)} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.}\\
\textbf{Chaque réponse doit être soigneusement justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \ln \left(1  + x^2\right)$.\\
Sur $\R$, l'équation $f(x) = \np{2023}$

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{a.~~} n'admet aucune solution. & \textbf{b.~~} admet exactement une solution.\\
\textbf{c.~~} admet exactement deux solutions.~~~ & \textbf{d.~~} admet une infinité de solutions.
\end{tabular}
\end{center}

\item Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $g(x) = x \ln (x) - x^2$.\\
On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{a.~~}La fonction $g$ est convexe sur $]0~;~+\infty[$.&\textbf{b.~~}La fonction $g$ est concave sur $]0~;~+\infty[$.\\
\textbf{c.~~}$\mathcal{C}_g$ admet un seul point d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$.&\textbf{d.~~}$\mathcal{C}_g$ admet deux points d'inflexion sur $]0~;~+\infty[$.
\end{tabular}
\end{center}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $]- 1~;~1[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{1 - x^2}\]
La fonction $f$ est dérivée de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] - 1~;~1[$ par :

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{a.~~} $g(x)= \dfrac{x^2}{2\left(x - \frac{x^3}{3}\right)}$~~~~~~~~~ &\textbf{b.~~} $g(x) =  \dfrac{1 + x^2}{ \left(1 - x^2\right)^2}$\\
& \\
\textbf{c.~~} $g(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left(1 - x^2\right)$  &\textbf{d.~~} $g(x) = - \dfrac12 \ln \left(1 - x^2\right)$
\end{tabular}
\end{center}

\item La  fonction $x \longmapsto  \ln \left(-x^2- x + 6\right)$ est définie sur

\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
\textbf{a.~~} $]- \infty~;~6]$ & \textbf{b.~~} $]- 3~;~2[$ & \textbf{c.~~} $]0~;~+\infty[$ & \textbf{d.~~} $]2~;~+\infty[$
\end{tabular}
\end{center}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5~;~+ \infty [$ par \[f(x) =x^2- 4x+ 3 \ln (2x - 1)\]
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{a.~~}$y = 4x- 7$ & \textbf{b.~~}$y = 2x - 4$\\
\textbf{c.~~}$y = -3(x - 1) + 4$ ~~~~~~~~~~ &\textbf{d.~~}$y = 2x - 1$
\end{tabular}
\end{center}

\item L'ensemble $S$ des solutions dans $\R$ de l'inéquation $\ln (x + 3) < 2\ln (x + 1)$ est:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{a.~~} $S = ]- \infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$~~~~~~~~~~~ &\textbf{b.~~} $S = ]1~;~+ \infty[$\\
\textbf{c.~~} $S = \emptyset$&\textbf{d.~~} $S = ]- 1~;~1[$
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}
\finexo

\end{document}